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数学学习的抽象性和逻辑性

抽象性是任何一门科学均具有的共性。然而，数学的抽象和其他自然科学不一样。在数学的抽象中，仅仅保留了对象的量的特征，而完全舍弃了它们的质的内容。而且其抽象程序远远超过了自然科学中的一般抽象。例如对于自然数的认识：1，2，3，…，101，102，103，…，1001，1002，1003，…无限制地继续下去时，相应的数距我们越来越远。很远很远的大数是决不可能由真实事物中直接抽象出来的，而只能依靠人的想象。这种想象的数，实际上是人的思维的产物，把它看成是一种“理想元素”。类似地直线的无限性，极限，有理数的稠密性，实数的连续性等概念，也都是理性思维的结果，不可能直接为人们所感知。然而，实践是检验真理的标准，随着科学的发展和人们认识的深入，到了19世纪，高斯给出了复数（虚数）的几何表示，帮助人们直观地理解了它的真实意义，随后又在流体力学中得到了应用。在数学和其他科学中复数日益起着不可估量的作用，在19世纪中叶以后遂发展成一个庞大的数学分支——复变函数论。

由此可见，理想元素对数学及科学实践所起的积极作用。一般说来，随着数学的发展，理想元素在数学中占据着越来越重要的位置。正如数学史家M.克莱因所指出：1700年以后，越来越多的、更远离自然界的、从人的脑子中源源不断地涌出的概念，进入了数学。它们逐渐取代了那些“直接观念性”的概念，并在数学中占据了主导的地位。列宁曾指出：幻想是极其可贵的品质，有人认为，只有诗人才需要幻想，这是没有理由的，这是愚蠢的偏见！甚至在数学上也需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。由于数学研究对象的抽象性，就决定了数学学习的抽象思维特征，这种抽象性，当尚未熟悉它的思维方法时，似乎感到很难把思维特征也是可以办到的。

只要我们通过初等数学、高等数学课程的认真学习，仔细体会它的概念和论证方法的抽象特征，自觉学习、运用这种思维方法来思考和分析问题，经过一段时间的训练，便可逐步培养起这种抽象思维能力。借助于逻辑学的帮助而建立起来的数学体系，具有一个突出的特点，就是它在逻辑上的严密性。无论是在高等数学还是初等数学中，严密性都是至关重要的。虽然严密性是相对而言的，它随着科学及数学的发展在变化着。过去被大数学家认为是严密的证明，今天却因其不完善而被抛弃的情形也屡见不鲜。然而，严密性的要求毕竟在始终不断推进着数学研究的向前发展，它使数学（特别是在数学基础方面）在实质上和面貌上发生了很大的变化。基于这种意义，可以认为，现今以一组不证明的命题、一组不定义的术语为基础的公理数学，才是最严格最广泛最抽象的科学体系。今天，我们在大学或中学中学习数学，虽然没有必要过分强调演绎论证的训练，但必要的逻辑推理训练是不可少的，因为它是创造性数学思维中不可少的工具。

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