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初三数学:圆知识点归纳

分类:网校资讯 日期:2017-05-08 分享到

  一、圆的定义。

  1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。

  2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆知识点归纳

  二、圆的各元素。

  1、半径:圆上一点与圆心的连线段。

  2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。

  3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。

  4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

  (1)劣弧:小于半圆周的弧。

  (2)优弧:大于半圆周的弧。

  5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。

  6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。

  7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。

  三、圆的基本性质。

  1、圆的对称性。

  (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。

  (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

  (3)圆是旋转对称图形。

  2、垂径定理。

  (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

  (2)推论:

  平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

  平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

  3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

  (1)同弧所对的圆周角相等。

  (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。

  4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。

  5、夹在平行线间的两条弧相等。

  6、设⊙O的半径为r,OP=d。

  7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

  (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。

  (直角三角形的外心就是斜边的中点。)

  8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。

  直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;

  直线与圆没有交点,直线与圆相离。

  9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。

  则AB=(x1+x2,y1+y2)

  10、圆的切线判定。

  (1)d=r时,直线是圆的切线。

  切点不明确:画垂直,证半径。

  (2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

  切点明确:连半径,证垂直。

  11、圆的切线的性质(补充)。

  (1)经过切点的直径一定垂直于切线。

  (2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

  12、切线长定理。

  (1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

  (2)切线长定理。

  ∵PA、PB切⊙O于点A、B

  ∴PA=PB,∠1=∠2。

  13、内切圆及有关计算。

  (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。

  (2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。

  求:AD、BE、CF的长。

  分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.

  可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3

  (3)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。

  求内切圆的半径r。

  分析:先证得正方形ODCE,

  得CD=CE=r

  AD=AF=b-r,BE=BF=a-r

  b-r+a-r=c

  得r=(b+a-c)/2

  (4)S△ABC=abc/4r

  14、(补充)

  (1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。

  如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。

  (2)相交弦定理。

  圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA•PB=PC•PD。

  (3)切割线定理。

  如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA2=PB•PC。

  (4)推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA•PB=PC•PD。

  15、圆与圆的位置关系。

  (1)外离:d>r1+r2,交点有0个;

  外切:d=r1+r2,交点有1个;

  相交:r1-r2

  内切:d=r1-r2,交点有1个;

  内含:0≤d

  (2)性质。

  相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

  相切两圆的连心线必经过切点。

  16、圆中有关量的计算。

  (1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。

  L=n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180

  (2)扇形的面积用S表示。

  S=lr/2

  (3)圆锥的侧面展开图是扇形。

  r为底面圆的半径,a为母线长。

  扇形的圆心角α=l/r

  S侧=ar S全=ar+r2