考研等价无穷小:2018考研常用等价无穷小的条件及用法

发布时间:2017-07-22分类:考研

  利用等价无穷小求极限是比较特殊的方法,很多时候应用起来更方便容易。等价无穷小的条件是什么?如何应用?比网校在线下文解读考研常用等价无穷小的相关问题:

  我们所学的初等函数有五类,反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数,简称反对幂三指,以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0

  常见代换:x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x

  幂函数代换:(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数

  指数函数代换:ex ~ x + 1 ax ~ lna ·x­­­­­ + 1

  对数代换: ln(1+x) ~ x loga(1+x) ~ x/lna

  差代换:1.二次的:1-cos x ~ x­­­­­­­2/2 x-ln(1+x) ~ x­­­­­­­2/2

  2三次的:(1)三角的:x - sin x ~ x3/6 tan x - x ~ x3/3

  tan x -sin x ~ x3/2

  (2)反三角的:arcsin x - x ~ x3/6 x -arctan x ~ x3/3

  arcsin x - arctan x ~ x3/2

  下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用

  例如:求:当x→0时,lim(arcsin x-arctan x)/ x3的值。

  当求这个极限的值的时候,如果用洛必达法则,计算量则会很大,这里不再赘述运用洛必达法则如何求解,只介绍如何使用上述技巧。

  lim(arcsin x-arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2

  大家可以自己做一下洛必达法则的方法,对比一下两者之间的差别。

  需要注意的是,等价无穷小的运用往往不止一次,只要发现运用洛必达法则运算困难,则可以尝试等价无穷小代换。